世界級(jí)繪本大師、國(guó)際安徒生獎(jiǎng)得主安野光雅不僅擅長(zhǎng)畫(huà)畫(huà)，知識(shí)也非常淵博，在人文、數(shù)學(xué)、建筑、文學(xué)等領(lǐng)域都有頗深的造詣。他擅長(zhǎng)創(chuàng)作數(shù)學(xué)主題的繪本，將藝術(shù)與科學(xué)融為充滿(mǎn)幽默的視覺(jué)游戲，構(gòu)筑出兼具知性與詩(shī)意、充滿(mǎn)童趣的“安野風(fēng)格”，展現(xiàn)出敏銳的想象力和縝密的邏輯推理能力，將讀者帶入一個(gè)可以自由聯(lián)想的魔法數(shù)學(xué)世界。
在這三本以數(shù)學(xué)為主題的繪本中，安野光雅從生活中司空見(jiàn)慣的現(xiàn)象、事物入手，用生動(dòng)優(yōu)美的圖畫(huà)，風(fēng)趣幽默地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)原理和概念的由來(lái)，通過(guò)有趣的游戲、手工和故事，讓數(shù)學(xué)變得簡(jiǎn)單、好玩，引導(dǎo)孩子自己動(dòng)手、思考、發(fā)現(xiàn)，啟發(fā)孩子對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。
第一章：不是一伙的（背后的數(shù)學(xué)思想：集合）
在同一頁(yè)中，找出誰(shuí)和大家“不是一伙的”，也就是找出不屬于同一類(lèi)的那個(gè)。例如，許多個(gè)方塊和一個(gè)圓，圓和大家“不是一伙的”；不能自己運(yùn)動(dòng)的，和能用腳或翅膀活動(dòng)的“不是一伙的”；自行車(chē)和其他有發(fā)動(dòng)機(jī)的交通工具“不是一伙的”。形狀、顏色、生長(zhǎng)環(huán)境、數(shù)目……都可以是分類(lèi)的條件。通過(guò)巧妙的游戲，作者讓孩子們理解分類(lèi)。分類(lèi)的條件可以有很多種，相應(yīng)地得出的結(jié)果就會(huì)不同，這也能讓孩子了解到事物是可以從多種角度來(lái)看待的。
第二章：魔力藥水（背后的數(shù)學(xué)思想：組合與分離）
從天使、獨(dú)角獸等幻想中的事物，到帶橡皮的鉛筆、帶輪子的車(chē)等現(xiàn)實(shí)中的事物，讓孩子了解“組合”在生活中的廣泛運(yùn)用。然后再?gòu)膶?shí)際可見(jiàn)的物體之間的結(jié)合，延伸到物體與顏色的結(jié)合，以及形容詞與名詞之間的結(jié)合，從具象到抽象，逐步深入，讓孩子充分理解“組合”的意義。最后，從逆向思維的角度，講述“分離”的重要意義。
第三章：順序（背后的數(shù)學(xué)思想：序數(shù)和基數(shù)，一一對(duì)應(yīng)）
小朋友們做好了一些撲克牌，可是有一些看起來(lái)出錯(cuò)了，比如有六個(gè)紅桃的撲克牌上寫(xiě)著“7”，有四個(gè)梅花的撲克牌上寫(xiě)著“5”……想想看應(yīng)該怎么改呢？接著，來(lái)看看上下兩行撲克牌，找找“上排左數(shù)第四張是什么牌”，“下排右數(shù)第四張是什么牌”……然后，通過(guò)住宅樓的樓層、排列，戲票的座位號(hào)，住家的門(mén)牌號(hào)等方式，讓小朋友們理解位置、序數(shù)、基數(shù)等基本知識(shí)。安野光雅認(rèn)為，比起為了數(shù)數(shù)而數(shù)數(shù)，思考方式和解題能力的培養(yǎng)才是數(shù)學(xué)的根本。
第四章：比高矮（背后的數(shù)學(xué)思想：測(cè)量，數(shù)值單位）
兩個(gè)人比高矮，站在一起，馬上能知道誰(shuí)的個(gè)子高，可如果想和遠(yuǎn)方的人比較，就得想想別的辦法了，比如，分別做出和身高一樣長(zhǎng)的棍子，再通過(guò)棍子比高矮。不僅是身高，投球數(shù)、體重、水量……都可以做成“棍子”來(lái)“比高矮”。“棍子”相當(dāng)于數(shù)值，即用數(shù)值來(lái)做間接的比較。本章中，作者讓小讀者們?cè)谟螒蛑姓J(rèn)識(shí)測(cè)定重量、長(zhǎng)度、時(shí)間、體積等的工具，理解數(shù)值的意義。
數(shù)學(xué)最讓人困惑的是為什么這樣和有什么用，很多人即使大學(xué)畢業(yè)也不明白，這套書(shū)完美地闡釋了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，把數(shù)學(xué)和生活緊密聯(lián)系在一起。
★ 13種基本數(shù)學(xué)思想，層層深入，完美闡釋數(shù)學(xué)的本質(zhì)。
★以?xún)蓚€(gè)小矮人貫穿全文，圖文并茂，講故事、出謎題、做游戲，游戲背后蘊(yùn)藏?cái)?shù)學(xué)概念讓孩子以最簡(jiǎn)單、最科學(xué)的方式走近數(shù)學(xué)，愛(ài)上數(shù)學(xué)！
★ 不僅僅講算術(shù)，更重在啟發(fā)從不同角度看待事物、解決問(wèn)題的思考方式，培養(yǎng)孩子的邏輯思維能力，提高綜合素質(zhì)。
★ 國(guó)際安徒生獎(jiǎng)得主、《旅之繪本》作者 安野光雅 最經(jīng)典的作品。
★ 打破數(shù)學(xué)給人的枯燥、刻板的印象，集科學(xué)與藝術(shù)為一身，精心繪制優(yōu)美圖畫(huà)，讓孩子領(lǐng)略科學(xué)與藝術(shù)的雙重美感。
★ 美國(guó)《出版家周刊》《學(xué)校圖書(shū)館雜志》推薦
★ 榮獲日本數(shù)學(xué)會(huì)出版大獎(jiǎng)、日本產(chǎn)經(jīng)兒童出版文化獎(jiǎng)，日本全國(guó)學(xué)校圖書(shū)館協(xié)議會(huì)選定圖書(shū)，日文版累計(jì)重印高達(dá)150次
★全3冊(cè)，每?jī)?cè)104頁(yè)（4-5章內(nèi)容，每章著重講述一種數(shù)學(xué)思想），書(shū)后附有安野光雅親自撰寫(xiě)的說(shuō)明文字，對(duì)所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行詳盡的補(bǔ)充，延展性強(qiáng)，極具啟發(fā)性。
★ 精心挑選優(yōu)質(zhì)紙張印刷，最大程度接近原版紙質(zhì)，質(zhì)感細(xì)膩，色彩柔和，力求完美呈現(xiàn)安野筆下優(yōu)美、溫潤(rùn)的圖畫(huà)世界。
不是一伙的
本書(shū)最早出版時(shí)，有不少人都很吃驚：“這也是數(shù)學(xué)書(shū)嗎？”這樣的反應(yīng)倒在我的意料之中，因?yàn)檫^(guò)去從沒(méi)有過(guò)這種連豬和小鳥(niǎo)都有的數(shù)學(xué)書(shū)。如果只是要教數(shù)字和圖形的話(huà)，好的數(shù)學(xué)書(shū)有很多。但我想，有沒(méi)有那種書(shū)呢，不僅講算術(shù)，還講所有學(xué)問(wèn)普遍適用的思考方法，并且能夠從中分享發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的喜悅，偶爾還會(huì)讓人產(chǎn)生困惑，這樣的書(shū)該多有意思啊。最后我發(fā)現(xiàn)，這樣的書(shū)便是數(shù)學(xué)書(shū)。這也是本書(shū)之所以決定為數(shù)學(xué)書(shū)的原因。
“數(shù)學(xué)”一詞是由“Mathematics”翻譯而來(lái)的，詞源上并沒(méi)有數(shù)學(xué)的意思，也不局限于數(shù)量和圖形，而是更接近于求知和思考方法的意思。聽(tīng)到這些，我感到安心多了。一直以來(lái)困擾著我們，讓我們覺(jué)得很難學(xué)的“算術(shù)”或“數(shù)學(xué)”，原來(lái)并非數(shù)學(xué)的本質(zhì)。真正的數(shù)學(xué)處處蘊(yùn)藏著發(fā)現(xiàn)的喜悅。數(shù)學(xué)是一棟自有史以來(lái)就不斷被創(chuàng)造、被豐富著的宏偉的思想“建筑”。有的部分正經(jīng)歷著大改造，有的部分相對(duì)完善，也有的部分眼下正在建設(shè)中。
為了給這棟建筑物再砌上一塊磚，有的數(shù)學(xué)家傾注了一生的心血。但也正因?yàn)槿绱耍@棟建筑物才能如此美麗。也因此，我們才想盡方法培養(yǎng)孩子認(rèn)識(shí)這棟建筑物的能力。
在數(shù)學(xué)中，進(jìn)行數(shù)量加減運(yùn)算的前提條件是單位相同。比如在第6頁(yè)中，我們可以說(shuō)圖里有8只鴨子和1只狐貍，也可以說(shuō)圖里有9只小動(dòng)物，單位不同，得出的結(jié)果就不同。本章的目的就是為了讓大家思考“單位1”后面隱含的那個(gè)條件。最初人們有兩種做法：
I. 給出一個(gè)條件，并按此條件收集東西。
II. 從收集到的東西中找出那個(gè)條件。
本章采用的是方法II，比方法I稍微麻煩點(diǎn)。這就是初級(jí)集合論的思想。其中所舉的例子有些或許會(huì)比較難，而且根據(jù)不同的分析方式，有時(shí)候還會(huì)得出兩種結(jié)論，孩子們理解不了的時(shí)候，大人就陪他們一起來(lái)傷腦筋吧。如果你給了孩子很多提示，以幫助他們解答問(wèn)題，那你只是教給了他一種知識(shí)；而當(dāng)孩子和小伙伴們經(jīng)過(guò)討論，靠自己的能力得出答案時(shí)，即便有錯(cuò)，他們也能從中學(xué)會(huì)思考問(wèn)題的方法和步驟，并獲得發(fā)現(xiàn)的喜悅。
魔力藥水
您見(jiàn)到過(guò)這樣的畫(huà)嗎？畫(huà)中的動(dòng)物長(zhǎng)著馬臉、羊腳、獅子尾巴，額頭上還有一個(gè)角。這就是古人根據(jù)希臘神話(huà)中的獨(dú)角獸畫(huà)成的美麗的畫(huà)。
法國(guó)超現(xiàn)實(shí)主義詩(shī)人洛特雷阿蒙曾寫(xiě)過(guò)一首詩(shī)，名叫《馬爾多羅之歌》，其中有一句特別有名：
“就像一架縫紉機(jī)和一把雨傘在解剖臺(tái)上偶然相遇般美麗。”
讀這句詩(shī)的時(shí)候，你是否能體會(huì)到一種從未體驗(yàn)過(guò)的幻覺(jué)之美？！就像中世紀(jì)的煉金術(shù)一樣，從很久很久以前起，把兩種不同的東西結(jié)合起來(lái)思考是創(chuàng)造新事物的重要方法。所謂煉金術(shù)，就是試著使各種東西混合或者分離，偶爾也會(huì)有這樣的情況：從爐中取出來(lái)的雖然不是金子，卻是一種新物質(zhì)。如果說(shuō)希臘神話(huà)是信仰與幻想的煉金術(shù)，那么超現(xiàn)實(shí)派詩(shī)歌就是語(yǔ)言的煉金術(shù)，除了產(chǎn)生美以外，并沒(méi)有其他什么東西。不過(guò)，中世紀(jì)真正的煉金術(shù)卻真的提煉出了東西。
你知道病原菌是怎樣被發(fā)現(xiàn)的嗎？自從發(fā)明顯微鏡后，人類(lèi)就開(kāi)始認(rèn)識(shí)包括“細(xì)菌”在內(nèi)的微生物世界了。由于在某類(lèi)病人體內(nèi)總能發(fā)現(xiàn)特定的細(xì)菌，因此，醫(yī)學(xué)研究者將這兩點(diǎn)結(jié)合在一起考慮，從而聯(lián)想到這種特定的細(xì)菌就是病原菌，即致病的原因所在。現(xiàn)在看來(lái)這根本不算什么，但在當(dāng)時(shí)，想要得出這樣的推斷，可絕不是煉金術(shù)之類(lèi)的結(jié)合方法就能做到的。因?yàn)樵谀莻€(gè)年代，連醫(yī)生都不相信這類(lèi)肉眼看不見(jiàn)的東西能讓一個(gè)好端端的人生病，更何況出現(xiàn)在顯微鏡下的并非只有一種特定的細(xì)菌。
從把面包涂上黃油這類(lèi)簡(jiǎn)單的組合，到必須天才才能完成的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明，這當(dāng)中都需要將一些東西進(jìn)行或結(jié)合、或分離的工作。數(shù)學(xué)上將之稱(chēng)為“乘”，但在這里并不是指乘法的“乘”，而是有著更廣泛的含義。“乘”不僅運(yùn)用于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，還是一個(gè)普通的日常用語(yǔ)。算術(shù)中的×表示一種數(shù)量關(guān)系，而這里的“乘”，則是一種最基本的思考方法。
本章就是從“乘”這個(gè)動(dòng)作所引出的有趣例題開(kāi)始的。就好像棒球賽中的循環(huán)賽制一樣，運(yùn)用“乘法”，可以讓任意兩支球隊(duì)都有交戰(zhàn)的機(jī)會(huì)。這其實(shí)就是按一定的順序逐一運(yùn)用煉金術(shù)的方法進(jìn)行組合。至于像38頁(yè)那樣的圖形組合，就是更加需要靈感的一種“乘法”了。
數(shù)一數(shù)水
“把兩塊一樣大的黏土合在一起，揉成一團(tuán)，用算式表示的話(huà)不就是1+1=1 嗎？”有人因被問(wèn)到這樣的問(wèn)題而很傷腦筋。
那么怎樣才能給這個(gè)明顯的錯(cuò)誤做出明確的說(shuō)明呢？
所謂數(shù)量，可以分為兩種情況：①像人和蘋(píng)果那樣，可以一個(gè)一個(gè)數(shù)出來(lái)，如果進(jìn)行了分割，原來(lái)的形狀就會(huì)改變。（數(shù)學(xué)上稱(chēng)這類(lèi)量為離散量，也就是“數(shù)字圈圈”那一章中介紹的數(shù)量。）②像水、砂糖那樣，不能一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，或者像時(shí)間、距離那樣，會(huì)無(wú)窮盡地連續(xù)下去，因而不能用前一章中講的圈圈的方法表示。（數(shù)學(xué)上稱(chēng)這類(lèi)量為連續(xù)量，也就是“數(shù)一數(shù)水”這章中介紹的數(shù)量。）測(cè)量連續(xù)量之前，首先要定好單位。
我們?cè)賮?lái)看前面那個(gè)問(wèn)題，把本來(lái)具有連續(xù)量性質(zhì)的黏土，用處理離散量的方法來(lái)做加法計(jì)算，難怪會(huì)讓人覺(jué)得困惑。在這種情形下，只要明確了“把什么當(dāng)做1”（單位）這個(gè)概念，就算把再多的黏土團(tuán)兒揉捏在一起，也不會(huì)出什么問(wèn)題。
本章的主題，是把小玻璃杯作為“量杯”（單位）來(lái)測(cè)量水。所謂“測(cè)量”，就是以單位來(lái)數(shù)數(shù)量。因而不要只是讀完這本書(shū)就算了，我希望大家也能實(shí)際地去量一量水，這樣才能更加體會(huì)到其真正的意義。在此贅述一句，在測(cè)量水的體積時(shí)，世界通用的單位是L（升），大家都知道，1L等于1000cm3，是以長(zhǎng)度為基本單位的。
1792年夏天的某一天，法國(guó)測(cè)量隊(duì)一行人扛著信號(hào)機(jī)、反射鏡和其他一些工具，越過(guò)邊境進(jìn)入西班牙。相信那時(shí)一定會(huì)有很多人懷疑這一行人的動(dòng)機(jī)，也許會(huì)盤(pán)問(wèn)他們：“你們究竟是來(lái)做什么的？”“我們想測(cè)量子午線(xiàn)，也就是說(shuō)，要測(cè)量地球的周長(zhǎng)，并以此為基準(zhǔn)來(lái)制定長(zhǎng)度的單位。”然而當(dāng)時(shí)有誰(shuí)會(huì)當(dāng)真呢？在那個(gè)時(shí)候，各國(guó)、各地區(qū)都有各自的測(cè)量單位，所以非常不方便。法國(guó)度量衡委員會(huì)希望能找到一個(gè)世界通用的長(zhǎng)度單位，于是向全世界提議：把人類(lèi)共同的財(cái)產(chǎn)—最大而又不變的地球加以測(cè)量，測(cè)出赤道到北極之間通過(guò)巴黎的子午線(xiàn)長(zhǎng)度，再以該弧長(zhǎng)的千萬(wàn)分之一為1米。
想到我們現(xiàn)在使用的“米”這個(gè)單位，不是某個(gè)統(tǒng)治者的身高，也不是哪個(gè)神殿的長(zhǎng)度，而是以獨(dú)一無(wú)二、無(wú)法替代的地球?yàn)榛鶞?zhǔn)制定的，不禁讓人肅然起敬！現(xiàn)今，根據(jù)國(guó)際度量衡大會(huì)對(duì)米所作的新定義，光在1/299792458（約三億分之一）秒內(nèi)在真空中傳播的距離為1米。
漂亮的三角形
相信大人們都知道，任何一個(gè)三角形的內(nèi)角之和都等于兩個(gè)直角。記得中學(xué)學(xué)習(xí)初等幾何時(shí)，我曾感嘆過(guò)：“三角形內(nèi)角之和怎么剛好等于兩個(gè)直角呢！”一按下開(kāi)關(guān)電視就會(huì)播放節(jié)目，撥個(gè)電話(huà)就能和遠(yuǎn)方的人通話(huà)，這些雖然讓我們著實(shí)驚嘆，但都是人為設(shè)計(jì)、制造出來(lái)的，跟蜜蜂采蜜、候鳥(niǎo)不會(huì)迷路等奇妙的自然現(xiàn)象相比，就沒(méi)什么了不起了。
想從大自然中找出像三角洲、礦石的結(jié)晶體那樣純粹的三角形，通常來(lái)說(shuō)比較困難。但是如果把范圍擴(kuò)大到土木、建筑、交通、游戲等領(lǐng)域，從力學(xué)的視角來(lái)看，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)三角形無(wú)處不在。像這樣抽象地來(lái)觀察三角形，我們就會(huì)明白，無(wú)論是和建筑有關(guān)的三角形，還是和交通有關(guān)的三角形，只要是三角形，就必定具備共同的幾何學(xué)性質(zhì)。
比起“為什么會(huì)開(kāi)紅色的花”這類(lèi)大自然的神奇之處，默默無(wú)語(yǔ)的三角形那完整無(wú)缺的美麗，更讓我覺(jué)得神奇！三角形雖然不同于鳥(niǎo)、蟲(chóng)一類(lèi)的自然物，但我們可以把它看成另外一種自然。除了人類(lèi)，沒(méi)有其他生物會(huì)發(fā)覺(jué)它的神奇，任何智者也無(wú)法憑空創(chuàng)造出這樣的奧妙。
兩千多年前，歐幾里得（Euclid，約公元前325-公元前265年，古希臘數(shù)學(xué)家，被稱(chēng)為“幾何之父”）創(chuàng)立了以三角形為代表的幾何學(xué)，作為數(shù)學(xué)論證中的典型，這個(gè)美妙的體系一直保存至今。
孩子們將來(lái)必然會(huì)與這門(mén)學(xué)科相遇，我希望孩子們是被它本身的協(xié)調(diào)之美所感動(dòng)，自發(fā)地去靠近它、學(xué)習(xí)它、了解它，而不是為了考試，或是為了當(dāng)測(cè)量師。
本章如果用幾何學(xué)來(lái)說(shuō)明，有些內(nèi)容難免會(huì)變得太深?yuàn)W，可如果把它當(dāng)成一種游戲，就可以輕松地接近它了。也就是說(shuō)，不要把它當(dāng)成正式的、需要一一加以證明的幾何學(xué)，而是當(dāng)成可以讓孩子邊玩邊看的游戲。相信不同年齡的孩子自會(huì)有不同的玩法和樂(lè)趣。
我曾經(jīng)聽(tīng)過(guò)這么一個(gè)笑話(huà)：從前，德川家康（日本戰(zhàn)國(guó)時(shí)代末期杰出的政治家、軍事家）在課堂上聽(tīng)老師講解“三角形的內(nèi)角之和等于兩個(gè)直角”的時(shí)候，問(wèn)老師，“像琵琶湖（日本第一大淡水湖）那么大的三角形，內(nèi)角之和也等于兩個(gè)直角嗎？”引來(lái)同學(xué)們的笑聲一片。其實(shí)我們不應(yīng)該只把它當(dāng)做笑話(huà)來(lái)看，因?yàn)橄竦厍蚰敲创蟮那蛎嫔系娜切危鋬?nèi)角之和就不一定等于兩個(gè)直角了。這時(shí)涉及的原理不屬于歐幾里得平面幾何，所以又誕生了所謂的“非歐幾里得幾何學(xué)”，這可以稱(chēng)為科學(xué)史上的革命。大概唯有帶著感動(dòng)的目光和創(chuàng)造性的態(tài)度去看待這個(gè)世界，才能達(dá)成這樣的學(xué)問(wèn)革命吧。
